28. Доказательство, его структура и виды. Правила и ошибки в доказательствах.
Доказательство в логике, процесс (метод) установления истины, обоснование истинности суждения.
В соответствии с различными возможными аспектами и уровнями
рассмотрения и употребления понятий «истина» («истинность») и
«обоснование» термин «Доказательство» допускает ряд
пониманий, отличающихся друг от друга по степеням общности и
определённости. Однако во всех модификациях понятия Доказательство
отчётливо прослеживаются две противоположные (но связанные между собой)
тенденции. Первая обусловлена относительностью и содержательным
характером понятия истины, поскольку оно означает соответствие, более
или менее точное и полное, некоторой части реальной действительности.
Вторая — связана с тем, что Доказательство (именно Доказательство,
а не просто довод в пользу рассматриваемого утверждения) должно
гарантировать истинность тезиса — именно в этом состоит специфика
понятия Доказательство, выделяющая его из более
широкого класса процедур, которые естественнее называть подтверждениями
тезисов и которые могут обладать большей или меньшей степенью
убедительности. Иначе говоря, понятие Доказательство должно служить полным подтверждением истинности доказываемого предложения, а потому носить дедуктивный (см. Дедукция) характер; отсюда тенденция ко всё большей формализации понятия Доказательство Т. о., в понятии Доказательство
заключено глубокое противоречие: понятие это по-настоящему нужно для
решения задач, в принципе не допускающих полного, исчерпывающего,
окончательного решения; удаётся же довести это понятие до идеала полной
определённости лишь для тех ситуаций, где решение, в некотором смысле,
заранее предопределено и заключается уже в самой постановке задачи —
при Доказательство так называемых логически истинных
суждений, для которых лишь и удаётся провести полностью формализованные
(и тем самым не оставляющие никакой неопределённости и
недоговорённости) Доказательство
Противопоставление содержательных и формальных аспектов понятия «Доказательство» проявляется прежде всего в различии широкого и узкого понимания этого термина.
Доказательство
в широком смысле — это любая процедура установления истинности
какого-либо суждения (называется тезисом, или заключением, данного Доказательство):
как при помощи некоторых логических рассуждений, так и посредством
чувственного восприятия некоторых физических предметов и явлений, а
также ссылок (указаний или упоминаний) на такие восприятия. Именно
такой характер имеют Доказательство в юридической практике, где термин «Доказательство» применяют к такого рода единичным указаниями даже для наименования самих указываемых предметов — отсюда выражения «предъявить Доказательство (улику)», «вещественное Доказательство».
Таковы и обоснования большей части утверждений гуманитарных наук, а в
ещё более отчётливой форме — эмпирические (опытные: экспериментальные
или основанные на данных наблюдений) Доказательство в естественных науках. Хотя все такие Доказательство (если не считать Доказательство
некоторых единичных фактов, сводящихся к непосредственному
умозаключению из однократного «предъявления улики») включают в качестве
составных частей дедуктивные фрагменты — умозаключения, связывающие ссылки на опыт с доказываемым (и промежуточными) тезисом, тем не менее все эти Доказательство можно считать индуктивными: в них имеет место переход от частных посылок к общим заключениям (индукция), совершаемый (чаще всего в неявной форме) по правилам индуктивной логики.
Доказательство
в узком смысле слова, характерные для дедуктивных наук (логики,
математики и построенных по их образцу и на их основе разделов
теоретической физики и теоретической кибернетики), представляют собой
цепочки умозаключений (правильных), ведущих от истинных посылок
(исходных для данного Доказательство суждений) к доказываемым (заключительным) тезисам. Посылки Доказательство
также именуются его основаниями, или аргументами, или доводами; термины
эти, однако, не менее часто применяются для обозначения промежуточных
переходов от посылок к заключению или всякого рода пояснений
(комментариев), сопровождающих такие переходы в подобных Доказательство Истинность посылок не должна обосновываться в самом Доказательство,
а должна каким-либо образом устанавливаться заранее. Последовательное
развитие этой традиционной (идущей от Аристотеля) концепции Доказательство, связанное с аксиоматическим методом,
потребовало (в конце 19 в.) существенного её уточнения и даже
пересмотра. Если принятие аксиом в качестве истинных предложений ещё
согласовывалось с классическими представлениями (достаточно было,
казалось, потребовать их эмпирического обоснования), то открытие
возможности построения различных аксиоматических систем (например,
неевклидовых геометрий), пригодных, по крайней мере в принципе, для
описания одной и той же физической реальности, заставило отбросить
представление об аксиомах и как об «истинах самоочевидных», и как об
эмпирических истинах. Такое представление (идущее ещё от греческой
науки) противоречило, как оказалось, возможности принимать в качестве
аксиом различных конкретных геометрических систем (но, конечно, не
одной и той же системы) утверждения, являющиеся отрицаниями друг друга,
и открывшейся в связи с этим возможности класть в основу научных теорий
(а тем самым — и в качестве посылок Доказательство)
предложения, вопрос об истинности которых не только не предопределён с
самого начала, но может даже и не ставиться. Иначе говоря, обнаружилась
относительность противопоставления понятий вывода (из гипотез) и Доказательство — ведь аксиомы (независимо от их гипотетической «истинности» или «ложности») это и есть гипотезы, на которых основывается Доказательство
Но этот пересмотр понятия Доказательство, произведённый на рубеже 19 и 20 вв. ДоказательствоГильбертом,
не был до конца последовательным. В связи с обострившимися проблемами
непротиворечивости научных теорий (уверенность в которой уже не могла
больше базироваться на уверенности в истинности исходных положений
теории), Гильберт выдвинул программу формализации Доказательство
дедуктивных теорий, предполагающую не только явное указание всех
исходных понятий и исходных предложений (аксиом) каждой данной теории,
но и такое же явное указание всех используемых в выводах (в частности,
в Доказательство) этой теории логических средств. При такой постановке вопроса проблема убедительности (правильности) Доказательство получает (впервые!) совершенно объективный характер. Доказательство (точнее, формальное Доказательство)
рассматривается просто как «строчка формул», каждая из которых есть
либо аксиома (т. е. принадлежит к некоторому заранее выделенному списку
«отмеченных» формул), либо непосредственно следует по одному из правил
вывода (также точно перечисленных) из предыдущих формул строчки.
Заключение данного Доказательство — это просто его последняя формула (в частности, Доказательство
любой аксиомы состоит всего из одной формулы — из неё самой). При такой
трактовке рассматриваемая научная теория перестаёт быть теорией в
привычном смысле: она оказывается представленной в виде исчисления, или формальной системы,
состоящей из формул, получающихся из формул некоторого исходного запаса
(аксиом) посредством чисто «механического» применения правил вывода
(применение которых, равно как и проверка правильности этого
применения, не предполагает никакого «содержательного» их понимания).
Формула, для которой существует формальное Доказательство, называется доказуемой формулой, или формальной теоремой.
Т. о., реализация этой части гильбертовской программы позволила осуществить идеал, выдвинутый ещё Г. В. Лейбницем: «заменить рассуждение вычислением». Для проверки того обстоятельства, является ли данная строчка формул Доказательство, существует простой, единообразный и притом чисто механический метод — алгоритм.
Для выяснения того, является ли произвольная данная формула теоремой,
такой алгоритм возможен лишь для немногих, относительно простых
формальных теорий, но это обстоятельство не исключает возможности
машинного поиска вывода (поиска Доказательство) для
многих важных классов формул, и разработка таких машинных алгоритмов
вывода является одним из перспективных направлений математической
логики, теории алгоритмов и теоретической кибернетики.
Представление Доказательство в виде строчек (линейных последовательностей) формул — не единственно возможное; часто бывает удобнее определять формальные Доказательство как «деревья» формул, «ветвями» которых служат посылки применений правил вывода. Такая форма Доказательство
оказалась, в частности, удобной для предпринятых в рамках
гильбертовской теории доказательств немецким математиком Г. Генценом
(1934) исследований логических выводов; в предложенных им модификациях
логических исчислений в виде так называемых исчислений «естественного
вывода» формальные логические средства ближе по своей структуре к
обычным (содержательным) методам умозаключений, нежели в первоначальной
гильбертовской схеме. Аксиом в этих исчислениях нет (или совсем мало),
но введены дополнительные правила вывода, так что в результате общий
«запас теорем», выводимых новыми и прежними средствами, оказывается
одним и тем же. Т. о., различие между формальными аксиомами и
содержательными правилами оказывается также относительным.
Последовательная формализация понятия Доказательство
открывает возможность передачи многих «творческих» функций человека
электронным вычислительным машинам. Но из этого не следует заключение о
возможности сведения всех содержательных аспектов понятия Доказательство
к формальным — правила вывода, хотя они и имеют дело с формальными
объектами (формулами), формулируются на содержательном языке, а все
проблемы, касающиеся природы формальных исчислений в целом, ставятся и
решаются чисто содержательными средствами (см. Метатеория). Именно эти содержательные рассуждения (и содержательные Доказательство) составляют предмет самой теории Доказательство
Более того, оказалось (К. Гёдель,
1931), что задача полной и одновременно непротиворечивой формализации
даже таких относительно простых математических теорий, как арифметика
(теория чисел), в принципе неосуществима, так что в них всегда имеется
некоторый «неформализуемый остаток» (см. также Аксиоматическая теория множеств).
Наконец, никакая формализация дедуктивных теорий не снимает проблемы их
интерпретации, т. е. соотнесения с некоторой описываемой ими и внешней
для них реальности (также, быть может, состоящей из объектов высокой
степени абстракции), адекватность которого только и может быть в
конечном счёте обоснованием истинности теории в целом. Естественно, что
в рамках математической логики приобретает всё большее влияние та часть
доктрины (альтернативной по отношению к гильбертовской концепции) математического интуиционизма (в значительной мере воспринятой представителями конструктивного направления), согласно которой понятие строгого математического Доказательство (не говоря уже об общем понятии Доказательство) вообще не может быть исчерпано никаким «раз навсегда данным» формальным определением.
Ещё более решительный пересмотр представлений о сущности
аксиоматико-дедуктивных методов предпринят в рамках так называемой
ультраинтуиционистской программы. Ультраинтуиционизм, для которого, в
частности, характерно стремление последовательного и неукоснительного
соблюдения (в применении к дедуктивным наукам) достаточного основания принципа, с одной стороны, предлагает предельно широкое понимание содержательного (дедуктивного) Доказательство, с другой — выдвигает концепцию формального Доказательство,
учитывающую как «формалистскую» схему Гильберта, так и её
интуиционистскую критику, и в то же время настолько гибкую, что
использование её позволяет надеяться на преодоление в проблемах
обоснования математики и логики казавшихся ранее непреодолимыми
ограничений, обусловленных результатами Гёделя.
Данный пост — одно из редких исключений, когда читаешь с удовольствием и что-то для себя выносишь. Спасибо Вам. Добавлю в избранноеhttp://voronezh.recikl.ru/ - . :)
