Язык логики высказываний и семантика логических союзов
- Пропозициональные
переменные
- Логические
союзы (пропозициональные связки)
Логический
союз
Аналог
в естественном языке
Знак
Коньюнкция
«и»
&,
•,
(p
q)
Слабая дизьюнкция
«или»
p
q
Строгая дизьюнкция
«либо…, либо…»
, p
q
Импликация
«если …, то …»
, (p q)
Эквиваленция
«… тогда и только тогда,
когда …»
, (p
q)
Отрицание
«не …»,
«не верно, что …»
, ,
p
- Технические знаки –
(, ).
А.И.Мигунов
Определение формулы логики высказываний
- Пропозициональная
переменная есть формула;
- если А –
формула, то А
тоже формула;
- если
А – формула и В – формула,
то
(А
В), (А
В), (А В), (А
В), (А
В) – тоже формулы;
- любая
последовательность знаков из алфавита
языка логики высказываний есть формула
только в силу пунктов 1, 2, 3 данного определения.
А.И.Мигунов
Построение дерева формулы
(
)
С
А
В
А
В
(A
B)
((A
B) A)
(B
C)
((A
B) A) (B C)
А.И.Мигунов
Семантика логических союзов
А.И.Мигунов
Таблицы истинности формул логики высказываний
А
В
А
А
В
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
Некто А говорит:
«Я лжец, а В не лжец».
Кто А и кто В?
«А рыцарь»
– А
«А лжец»
- А
А
В
А.И.Мигунов
Таблицы истинности формул логики высказываний
- Если
магнит нагревать, то он размагнитится.
Этот магнит нагревали, следовательно,
он размагничен.
- ((A B)A)B
А
В
A
B
((A
B)A
((A
B)A)B
И
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
И
л
Л
И
Л
И
А.И.Мигунов
Пример 1
Где сидит принцесса?
1
По
крайней мере, в одной
из этих комнат находится
принцесса
2
Тигр
сидит в другой комнате
Истинны
ли утверждения на дверях комнат? - спросил
узник
Может, оба
истинны, а может, оба ложны, - ответил король.
Принцесса
в комнате 1 - p1
Принцесса
в комнате 2 - p2
Тигр в комнате
1 - t1
(p1 v p2)
t1
и и
и
и и
и и
и
л л
и и
л
и и
и и
л
л л
л и
и
и и
л и
и
л л
л л
л
л и
л л
л
и л
А.И.Мигунов
Основные модусы логики высказываний
MODUS
TOLLENS
A
B
B
A
((A
B)B) A
MODUS
PONENS
A
B
A
B
((A
B)A)B
А
В
A
B
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
А.И.Мигунов
Отношение логического следования
- Формула В логически следует из формул
А1,
А2,…, Аn
(А1,
А2,
…, Аn ├ В), если и только если в каждой пропозициональной интерпретации, в какой все формулы А1,
А2,
…, Аn принимают значение «и», формула В также есть «и».
p q
q
p
А1, А2├ В
А.И.Мигунов
Отношение логического следования
- Задача
установления того, следует ли высказывание
В из высказываний А1,
А2,…, Аn сводится к
задаче выяснения является ли высказывание
((А1 А2 … Аn)
В) тождественно истинным (тавтологией,
законом логики).
А.И.Мигунов
Отношение логического следования
- Формула В логически следует из формул
А1,
А2,…, Аn
(А1,
А2,
…, Аn ├ В), если и только если в каждой пропозициональной интерпретации, в какой все формулы А1,
А2,
…, Аn принимают значение «и», формула В также есть «и».
p q
q
p
А1, А2├ В
(А1
А2)
В
((p
q)q) p
|
